Question

9．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，前n項和為S_n，已知3$\sqrt{5}$是-a₂與a₉的等比中項，S₁₀=-20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}|{a}_{n+1}|}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n（n≥6）．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式與性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）分類討論，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵3$\sqrt{5}$是-a₂與a₉的等比中項，∴$（3\sqrt{5}）^{2}$=-a₂•a₉，又S₁₀=-20．
∴-（a₁+d）（a₁+8d）=45，10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=-20，
聯(lián)立解得a₁=-11，d=2．
∴a_n=-11+2（n-1）=2n-13．
（2）1≤n≤5時，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}|{a}_{n+1}|}$=$\frac{1}{（2n-13）（11-2n）}$=-$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-13}-\frac{1}{2n-11}）$．
n≥6，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}|{a}_{n+1}|}$=$\frac{1}{（2n-13）（2n-11）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-13}-\frac{1}{2n-11}）$，
∴n≥6時，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=-$\frac{1}{2}$$（-\frac{1}{11}+1）$+$\frac{1}{2}$$（-1-\frac{1}{2n-11}）$
=$-\frac{21}{22}$-$\frac{1}{4n-22}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．