Question

17．已知關于x的不等式|ax-2|+a|x-1|≥2（a＞0）．
（1）當a=1時，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，關于x的不等式即|x-2|+|x-1|≥2．而由絕對值的意義可得，$\frac{5}{2}$和$\frac{1}{2}$到1和2對應點的距離之和正好等于2，由此可得不等式的解集．
（2）由于|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|，不等式的解集為R，等價于|a-2|≥2，由此求得a的范圍．再根據a＞0，進一步確定a的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，關于x的不等式|ax-2|+a|x-1|≥2（a＞0），即|x-2|+|x-1|≥2．
而由絕對值的意義可得|x-2|+|x-1|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，
且$\frac{5}{2}$和$\frac{1}{2}$到1和2對應點的距離之和正好等于2，
故不等式的解集為{x|x≥$\frac{5}{2}$，或x≤$\frac{1}{2}$}．
（2）由于不等式|ax-2|+a|x-1|≥|（ax-2）-（ax-a）|=|a-2|，
不等式|ax-2|+a|x-1|≥2（a＞0）的解集為R，等價于|a-2|≥2，
即 a-2≥2，或 a-2≤-2，解得 a≥4，或 a≤0．
再根據a＞0，可得 a≥4，即a的范圍為[4，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．