Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx-1在x=-2時取得極值，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率為-3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）在x=-2處有極值，且在x=-1處切線斜率為-3，列出方程組；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最大值與最小值；

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=12-4b+c=0}\\{f′（-1）=3-2b+c=-3}\end{array}\right.$  解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x³+3x²-1．
（2）由（1）知f'（x）=3x²+6x．令f'（x）=0，
解得x₁=-2，x₂=0
列表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		-		+
f（x）	1	減函數(shù)	-1	增函數(shù)	19

從上表可知，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值是19，最小值是-1．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，切線斜率以及函數(shù)的最值問題，屬中檔題．