Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4，若拋物線y=ax²上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，且x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，則m的值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得a=2，可得y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，A點(diǎn)坐標(biāo)是（x₁，2x₁²），B點(diǎn)坐標(biāo)是（x₂，2x₂²） A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}}{2}$），因?yàn)锳，B關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，所以A，B的中點(diǎn)在直線上，且AB與直線垂直，可得$\frac{2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+m，$\frac{2{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1，結(jié)合條件，由此能求得m．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4，
可得2a=4，即a=2．
拋物線y=2x²上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，
A點(diǎn)坐標(biāo)是（x₁，2x₁²），B點(diǎn)坐標(biāo)是（x₂，2x₂²），
A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}}{2}$），
因?yàn)锳，B關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，
所以A，B的中點(diǎn)在直線上，
且AB與直線垂直，
可得$\frac{2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+m，$\frac{2{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1，
即x₁²+x₂²=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+m，x₂+x₁=-$\frac{1}{2}$，
因?yàn)閤₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，
代入得$\frac{5}{4}$=-$\frac{1}{4}$+m，求得m=$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的定義，拋物線方程的運(yùn)用，考查直線對(duì)稱問題的解法，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．