Question

3．已知拋物線y²=20x的焦點(diǎn)F恰好為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離是4，則雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{41}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{21}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 確定拋物線y²=20x的焦點(diǎn)坐標(biāo)、雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程，利用拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為4，求出b，a，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：拋物線y²=20x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為bx+ay=0，
∵拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為4，
∴$\frac{5b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=4，即b=4，
∵c=5，∴a=3，
∴雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．