Question

16．函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}{log_2}（{{4^x}+1}）-1$的圖象（　�。�

• A． 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
• B． 關(guān)于y軸對(duì)稱
• C． 關(guān)于x軸對(duì)稱
• D． 關(guān)于直線y=x對(duì)稱

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)f（x），f（-x），判斷f（x）的奇偶性，即可得出結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{x}$log₂（4^x+1）-1=log₂（4^x+1）${\;}^{\frac{1}{x}}$-1=log₂$\frac{（{4}^{x}+1）^{\frac{1}{x}}}{2}$，
f（-x）=log₂$\frac{（{4}^{-x}+1）^{-\frac{1}{x}}}{2}$=log₂$\frac{1}{2•（{4}^{-x}+1）^{\frac{1}{x}}}$=log₂[$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{{4}^{-x}+1}$）${\;}^{\frac{1}{x}}$]
=log₂[$\frac{1}{2}$•（$\frac{{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$）${\;}^{\frac{1}{x}}$]=log₂$\frac{2}{（1+{4}^{x}）^{\frac{1}{x}}}$，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，f（x）的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．