Question

14．已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），且與圓B：（x-2）²+y²=4相內(nèi)切（B為圓心）．
（1）求動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)B且斜率為2的直線與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，求△APQ的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由兩圓相內(nèi)切的條件可得|，|MB|=|MT|-|BT|=|MA|-2，再由雙曲線的定義，可得M的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且c=2，a=1，b=$\sqrt{3}$，即可得到所求軌跡方程；
（2）求出直線方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得|PQ|，再由雙曲線的定義可得△APQ的周長(zhǎng)為4a+2|PQ|，計(jì)算即可得到所求周長(zhǎng)．

解答 解：（1）動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），
且與圓B：（x-2）²+y²=4相內(nèi)切（B為圓心），
可得|MA|=|MT|，|MB|=|MT|-|BT|=|MA|-2，
|MA|-|MB|=2＜|AB|=4，
由雙曲線的定義可得，
M的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且c=2，a=1，b=$\sqrt{3}$，
即有動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＞0）；
（2）過(guò)點(diǎn)B且斜率為2的直線方程為y=2x-4，
代入雙曲線的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得x²-16x+19=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=16，x₁x₂=19，
則|PQ|=$\sqrt{1+{2}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{1{6}^{2}-4×19}$=30，
則△APQ的周長(zhǎng)為|AP|+|PB|+|BQ|+|AQ|
=2a+2|PB|+2|BQ|+2a=4a+2|PQ|=4+60=64．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和方程的運(yùn)用，考查兩圓的位置關(guān)系，主要是內(nèi)切的條件，考查直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．