Question

13．如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF${\;}_{=}^{∥}$2CE，G是線段BF上一點(diǎn)，AB=AF=BC
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求$\frac{BG}{BF}$的值；
（Ⅱ）是否在線段BF上存在點(diǎn)G滿足BF⊥平面AEG？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面平行的性質(zhì)定理可得過EG的平面與平面ABC交于CD，D在AB上，連接GD，CD，可得EG∥CD，根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，證明CE∥GD，可得四邊形GDCE是平行四邊形，進(jìn)而得到G為BF的中點(diǎn)；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系，求出F，B，C，E的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{AE}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）EG∥平面ABC，
過EG的平面與平面ABC交于CD，D在AB上，
連接GD，CD，
由線面平行的性質(zhì)定理可得EG∥CD，
又因?yàn)锳F∥CE，AF=2CE，
CE?平面ABF，AF?平面ABF，
CE∥平面ABF，CE?平面CEGD，
可得CE∥GD，
則四邊形GDCE是平行四邊形，
即有AF∥GD，AF=2GD，
即G為BF的中點(diǎn)，
則$\frac{BG}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC，
因?yàn)锽C⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)AB=AF=BC=2，
則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），
因?yàn)?\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2）•（2，2，1）=-2×2+2=0×2+2×1=-2≠0，
所以BF與AE不垂直，
所以不存在點(diǎn)G滿足BF⊥平面AEG．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定和性質(zhì)定理的運(yùn)用，以及中位線定理的運(yùn)用，線面垂直的存在性問題，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．