Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值a（a∈R）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=a$（m＞0，n＞0），試比較m+2n與2的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉絕對(duì)值，利用分段函數(shù)寫(xiě)出f（x）的解析式，再計(jì)算f（x）的最大值a；
（Ⅱ）由$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=a$=2，利用基本不等式求m+2n的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-1|-2|x+1|
=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$；
∴f（x）的最大值為f（-1）=2，
∴a=2；
（Ⅱ）∵$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=a$=2，
且m＞0，n＞0，
∴m+2n=（m+2n）×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{m}{2n}$+$\frac{2n}{m}$）≥$\frac{1}{2}$×（2+2$\sqrt{\frac{m}{2n}×\frac{2n}{m}}$）=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{m}{2n}$=$\frac{2n}{m}$，即m=1，n=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立；
所以m+2n≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)以及基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．