Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m{log_{2017}}x+3sinx，x＞0\\{log_{2017}}（-x）+nsinx，x＜0\end{array}\right.$為偶函數(shù)，則m-n=（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設x＞0，則有（-x）＜0，由函數(shù)f（x）的解析式可得f（x）=mlog₂₀₁₇x+3sinx以及f（-x）=log₂₀₁₇[-（-x）]+nsin（-x）=log₂₀₁₇x-nsinx，結合函數(shù)的奇偶性可得mlog₂₀₁₇x+3sinx=log₂₀₁₇x-nsinx，分析可得m、n的值，計算可得m-n的值．

解答 解：根據(jù)題意，設x＞0，（-x）＜0，
又由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m{log_{2017}}x+3sinx，x＞0\\{log_{2017}}（-x）+nsinx，x＜0\end{array}\right.$，
則f（x）=mlog₂₀₁₇x+3sinx，
則f（-x）=log₂₀₁₇[-（-x）]+nsin（-x）=log₂₀₁₇x-nsinx，
又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x），
即mlog₂₀₁₇x+3sinx=log₂₀₁₇x-nsinx，
則有m=1，n=-3；
則m-n=1-（-3）=4；
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，涉及分段函數(shù)的應用，關鍵是理解函數(shù)奇偶性的定義．