Question

12．已知平行四邊形ABCD，頂點A（1，1），B（4，3），C（1，-1）．
（1）求D點的坐標(biāo)；
（2）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，且λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點D（x，y），利用向量相等列方程組求出點D的坐標(biāo)；
（2）由向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出λ的值．

解答 解：（1）設(shè)點D（x，y），∵點A（1，1），B（4，3），C（1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，2），$\overrightarrow{DC}$=（1-x，-1-y）；
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-x=3}\\{-1-y=2}\end{array}\right.$，
解得x=-2，y=-3，
∴點D（-2，-3）；
（2）∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$=（0，-2），
∴λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（3λ，2λ-2），$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（3，6），
且λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直，
∴（λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=9λ+6×（2λ-2）=0，
解得λ=$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積運算問題，是基礎(chǔ)題．