Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x（e=2.71828…），g（x）為其反函數(shù)．
（1）求函數(shù)F（x）=g（x）-ax的單調(diào)區(qū)間；
（2）設直線l與f（x），g（x）均相切，切點分別為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求證：x₁＞1．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由于直線l與f（x）、g（x）均相切，利用導數(shù)的幾何意義和斜率計算公式可得方程組，再利用x₁＞x₂＞0，可得ex1＞1，得到0＜x₂＜1．再利用②得lnx2=ex1（x2-x1+1）＜0，即可得到x₂-x₁+1＜0．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x，g（x）為其反函數(shù)，故g（x）=lnx，（x＞0），
∴F（x）=g（x）-ax=lnx-ax，g′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
①a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）遞增，
②a＞0時，令F′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，令F′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故F（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（2）f′（x）=e^x，g′（x）=$\frac{1}{x}$，
切點的坐標分別為（x1，ex1），（x2，lnx2），可得方程組：
$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{2}}①}\\{\frac{l{nx}_{2}{-e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}{=e}^{{x}_{1}}②}\end{array}\right.$，∵x₁＞x₂＞0，
∴e^x₁＞1，∴$\frac{1}{{x}_{2}}$=e^x₁＞1，
∴0＜x₂＜1．
由②得lnx₂-e^x₁=e^x₁（x₂-x₁），
∴l(xiāng)nx₂=e^x₁（x₂-x₁+1）．
∵0＜x₂＜1，∴l(xiāng)nx₂＜0，
∴x₂-x₁+1＜0，即x₁＞x₂+1＞1．
∴x₁＞1．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、構(gòu)造函數(shù)證明不等式、導數(shù)的幾何意義、斜率計算公式、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．