Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=2x+x|x-a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥2；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）≤1+2x²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入得不等式2（x-1）+x|x-1|≥0，對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)討論去絕對(duì)值，最后求并集即可；
（2）不等式可整理為2-（x+$\frac{1}{x}$）≤a≤$\frac{1}{x}$+3x-2，只需求出左式的最大值和右式的最小值即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2x+x|x-1|，
∴2（x-1）+x|x-1|≥0，
當(dāng)x-1=0時(shí)，成立，x=1，
當(dāng)x-1＞0時(shí)，x＞1，
當(dāng)x-1＜0時(shí)，x≤-2，
故解集為（-∞，-2]∪[1，+∞）；
（2）x∈[1，2]時(shí)，2x+x|x-a|≤1+2x²恒成立，
∴|x-a|≤$\frac{1}{x}$+2x-2恒成立，
∴-（$\frac{1}{x}$+2x-2）≤x-a≤$\frac{1}{x}$+2x-2，
∴2-（x+$\frac{1}{x}$）≤a≤$\frac{1}{x}$+3x-2，
∴0≤a≤2．

點(diǎn)評(píng) 考查了絕對(duì)值不等式的解法和絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題．