12.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為$\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l1經(jīng)過橢圓C的上頂點(diǎn)P且與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)P作l1的垂線l2交橢圓C于另一點(diǎn)D,當(dāng)△ABD的面積取得最大值時(shí),求直線l1的方程.

分析 (I)由題意可得:$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$,又a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可得出.
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由題意可知直線l1的斜率垂直,當(dāng)k=0時(shí),直線l1的方程為y=1,|AB|=2$\sqrt{3}$,直線l2的方程為x=0,D(0,-1).可得S△ABD.當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)直線l1的方程為y=kx+1.可得圓心O(0,0)到直線l1的距離d,于是|AB|=2$\sqrt{4-wgds1bd^{2}}$.由l1⊥l2,可得直線l2的方程為:x+ky-k=0.與橢圓方程聯(lián)立解得x0,可得|PD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|x0|.S△ABD=$\frac{1}{2}|PD||AB|$,即可得出.

解答 解:(I)由題意可得:$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$,又a2=b2+c2,
聯(lián)立解得b=c=1,a=$\sqrt{2}$.
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1.
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由題意可知直線l1的斜率垂直,當(dāng)k=0時(shí),直線l1的方程為y=1,|AB|=2$\sqrt{3}$,
直線l2的方程為x=0,D(0,-1).
∴S△ABD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$.
當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)直線l1的方程為y=kx+1.
∴圓心O(0,0)到直線l1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$.
∴|AB|=2$\sqrt{4-hstkjdt^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}}$.
∵l1⊥l2,可得直線l2的方程為:x+ky-k=0.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+ky-k=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$,化為:(2+k2)x2-4kx=0.
解得x0=$\frac{4k}{2+{k}^{2}}$,
∴|PD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$$|\frac{4k}{2+{k}^{2}}|$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{2+{k}^{2}}$.
S△ABD=$\frac{1}{2}|PD||AB|$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}+3}}{2+{k}^{2}}$.
設(shè)t=$\sqrt{4{k}^{2}+3}$$>\sqrt{3}$,可得:k2=$\frac{{t}^{2}-3}{4}$,
則S△ABD=$\frac{4t}{2+\frac{t-3}{4}}$=$\frac{16}{\frac{5}{t}+t}$≤$\frac{16}{2\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$,當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{5}$,即k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào).
又$\frac{8\sqrt{5}}{5}$$>2\sqrt{3}$,
∴直線l1的方程為:y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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