Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（x₀，$\frac{5}{2}$）為雙曲線上一點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為1，且圓心G到原點(diǎn)O的距離為$\sqrt{5}$，則雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{8{y}^{2}}{25}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{2{y}^{2}}{25}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{50}$=1

Answer 1

分析 利用圓心G到原點(diǎn)O的距離為$\sqrt{5}$，求出a，利用等面積，結(jié)合雙曲線的定義，求出P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)圓與F₁F₂，PF₁，PF₂的切點(diǎn)分別為A，B，D．則OA=a，
故$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，即a=2．
又△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}×2c×\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|×1，
∴|PF₁|+|PF₂|=3c，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=$\frac{3c+2a}{2}$，|PF₂|=$\frac{3c-2a}{2}$，
∵|PF₁|=$\sqrt{（{x}_{0}+c）^{2}+\frac{25}{4}}$，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{0}-c）^{2}+\frac{25}{4}}$，聯(lián)立化簡(jiǎn)得x₀=3．
P代入雙曲線方程，聯(lián)立解得b=$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．