Question

8．京劇是我國的國粹，是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，某機構在網(wǎng)絡上調(diào)查發(fā)現(xiàn)各地京劇票友的年齡ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ²），同時隨機抽取100位參與某電視臺《我愛京劇》節(jié)目的票友的年齡作為樣本進行分析研究（全部票友的年齡都在[30，80]內(nèi)），樣本數(shù)據(jù)分別區(qū)間為[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，由此得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）  若P（ξ＜38）=P（ξ＞68），求a，b的值；
（Ⅱ）現(xiàn)從樣本年齡在[70，80]的票友中組織了一次有關京劇知識的問答，每人回答一個問題，答對贏得一臺老年戲曲演唱機，答錯沒有獎品，假設每人答對的概率均為$\frac{2}{3}$，且每個人回答正確與否相互之間沒有影響，用η表示票友們贏得老年戲曲演唱機的臺數(shù)，求η的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由P（ξ＜38）=P（ξ＞68），可得μ=$\frac{38+68}{2}$=53．由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得：（0.01+0.03+b+0.02+a）×10=1，0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53，解出即可得出．
（II）樣本年齡在[70，80]的票友中共有0.05×100=5人，由題意可得η=0，1，2，3，4，5．根據(jù)η～B（5，$\frac{2}{3}$），P（η=k）=${∁}_{5}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{5-k}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵P（ξ＜38）=P（ξ＞68），∴μ=$\frac{38+68}{2}$=53．
由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得：
（0.01+0.03+b+0.02+a）×10=1，0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53，
聯(lián)立解得a=0.005，b=0.035．
（II）樣本年齡在[70，80]的票友中共有0.05×100=5人，
由題意可得η=0，1，2，3，4，5．∴η～B（5，$\frac{2}{3}$），
P（η=k）=${∁}_{5}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{5-k}$，P（η=0）=$\frac{1}{243}$，P（η=1）=$\frac{10}{243}$，
P（η=2）=$\frac{40}{243}$，P（η=3）=$\frac{80}{243}$，P（η=4）=$\frac{80}{243}$，P（η=5）=$\frac{32}{243}$．
∴η的分布列為：

η	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{32}{243}$

可得E（η）=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、二項分布列與數(shù)學期望計算公式、正態(tài)分布的對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．