已知橢圓：的離心率為，右焦點到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點F2斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為，求證：為定值．

（1）．（2）證明見解析.

解析試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)，建立的方程組即得；
（2）要證明為定值，須從確定兩直線斜率的表達式入手.根據(jù)題目的條件，應注意設出的直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，應用韋達定理，建立與坐標的聯(lián)系；確定的坐標，將斜率用坐標表示.得到，的關(guān)系即得證.
設過點 的直線方程為：，，點，
將代入橢圓整理得： 
應用韋達定理   ；
根據(jù)直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，點 ；
由直線 的斜率為
，
將代入上式得到，的關(guān)系即得證.
試題解析：（1）由題意得，，                      2分
所以，，所求橢圓方程為．                  4分
（2）設過點 的直線方程為：，
設點，點                                         5分
將直線方程代入橢圓
整理得：                           6分
因為點在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，
且                         7分
直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，
所以點的坐標               

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F1,F2,上頂點A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長為6.
(1)求橢圓C的標準方程及離心率;
(2)O為坐標原點,P是直線F1A上的一個動點,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時點P的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點A.

(1)求實數(shù)b的值;
(2)求以點A為圓心,且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,橢圓C:+=1的焦點在x軸上,左右頂點分別為A1,A,上頂點為B,拋物線C1,C2分別以A,B為焦點,其頂點均為坐標原點O,C1與C2相交于直線y=x上一點P.

(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程.
(2)若動直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點M,N,已知點Q(-,0),求·的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

平面直角坐標系xoy中，動點滿足：點P到定點與到y(tǒng)軸的距離之差為．記動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過點F的直線交曲線C于A、B兩點，過點A和原點O的直線交直線于點D，求證：直線DB平行于x軸．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，)，且長軸長與短軸長的比是∶1.
 
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上在第一象限的一點P的橫坐標為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B，求證：直線AB的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設＝t，求實數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，離心率，其一個焦點在拋物線的準線上，若拋物線與直線相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）當點在橢圓上運動時，設動點的運動軌跡為．若點滿足：，其中是上的點，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定點和定直線，動點與定點的距離等于點到定直線的距離，記動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程.
（2）若以為圓心的圓與曲線交于、不同兩點，且線段是此圓的直徑時，求直線的方程.

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