Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由得，根據(jù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)求解.

（2）由（1）知，設(shè)，則，由得，，要證，將 代入整理為，再令，轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，研究其最大值即可.

（1）由得，

有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，

即直線與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

設(shè)，則，

時(shí)，單調(diào)遞增，且的取值范圍是；

時(shí)，單調(diào)遞減，且的取值范圍是，

所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）知，設(shè)，則，

由得，

所以要證，只需證，

即證，即證，

設(shè)，即證，即證，

設(shè)，則，

所以在是增函數(shù)，，

所以，從而有.