Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1，x＜1\\-{x^2}+ax，x≥1\end{array}$，若f（x）的值域?yàn)椋?∞，3），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． $[-2\sqrt{3}，-2）∪（2，2\sqrt{3}]$
• C． $[2，2\sqrt{3}）$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 對(duì)x＜1和x≥1分別求解其值域判斷，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1，x＜1\\-{x^2}+ax，x≥1\end{array}$，
當(dāng)x＜1時(shí)，1＜2^x+1＜3，∵f（x）的值域?yàn)椋?∞，3），不滿足題意，顯然g（x）=-x²+ax，
當(dāng)x≥1時(shí)，1≤g（x）_max＜3，顯然a≤0不成立，排除A，B，
當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=-x²+2x，g（x）_max=1成立；
當(dāng)$a=2\sqrt{3}$時(shí)，$g（x）=-{x^2}+2\sqrt{3}x=-（{{x^2}-2\sqrt{3}x}）=-{（{x-\sqrt{3}}）^2}+3$，
g（x）_max=3，不符合題意，排除D，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于函數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題，采用排除法．屬于基礎(chǔ)題