Question

10．$已知\overrightarrow a=（sinθ，\frac{1}{3}），\overrightarrow b=（cosθ，-1），θ∈R$
（1）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求tanθ的值；      
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求sin2θ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示公式可得sinθ×（-1）=cosθ×$\frac{1}{3}$，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算可得答案；
（2）由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinθcosθ-$\frac{1}{3}$=0，進(jìn)而由二倍角的正弦公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，$\overrightarrow{a}$=（sinθ，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow$=（cosθ，-1），
若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，則有sinθ×（-1）=cosθ×$\frac{1}{3}$，即sinθ=-$\frac{1}{3}$cosθ，
變形可得tanθ=-$\frac{1}{3}$；
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，則有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinθcosθ-$\frac{1}{3}$=0，
即sinθcosθ=$\frac{1}{3}$，
則sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握向量平行、垂直的坐標(biāo)表示方法．