Question

16．函數(shù)$f（x）=x-\sqrt{2}sinx$在區(qū)間[0，π]上的最大、最小值分別為（　　）

• A． π，0
• B． $\frac{π}{2}-\sqrt{2}\;，0$
• C． $π\(zhòng);，\frac{π}{4}-1$
• D． $0\;，\;\frac{π}{4}-1$

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，并求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大、最小值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=x-\sqrt{2}sinx$，
∴f′（x）=1-$\sqrt{2}$cosx；
令f′（x）=0，解得cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又x∈[0，π]，∴x=$\frac{π}{4}$；
∴x∈[0，$\frac{π}{4}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（$\frac{π}{4}$，π]時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
且f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{4}$-$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$-1，
f（0）=0，f（π）=π；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大、最小值分別為π和$\frac{π}{4}$-1．
故選：C．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是中檔題．