Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-x+4，x≤2}\\{{a^x}+2a+1，x＞2}\end{array}}$，其中a＞0且a≠1．若a=$\frac{1}{2}$時方程f（x）=b有兩個不同的實根，則實數(shù)b的取值范圍是（2，$\frac{9}{4}$）；若f（x）的值域為[2，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-x，x≤2}\\{0．{5}^{x}+2，x＞2}\end{array}\right.$的圖象，由圖象即可得到y(tǒng)=f（x）和y=b有兩個交點(diǎn)的情況；運(yùn)用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得值域，討論a＞1，0＜a＜1兩種情況，即可得到所求a的范圍．

解答 解：作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-x，x≤2}\\{0．{5}^{x}+2，x＞2}\end{array}\right.$的圖象，
由a=$\frac{1}{2}$時方程f（x）=b有兩個不同的實根，
可得b＞2，且b＜2+0.5²=$\frac{9}{4}$，
即有b∈（2，$\frac{9}{4}$）；
函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-x+4，x≤2}\\{{a^x}+2a+1，x＞2}\end{array}}$，
當(dāng)0＜a＜1時，x≤2時，f（x）=4-x≥2，
x＞2時，f（x）=a^x+2a+1遞減，
可得2a+1＜f（x）＜a²+2a+1，
f（x）的值域為[2，+∞），可得2a+1≥2，解得$\frac{1}{2}$≤a＜1；
當(dāng)a＞1時，x≤2時，f（x）=4-x≥2，
x＞2時，f（x）=a^x+2a+1遞增，
可得f（x）＞a²+2a+1＞4，
則f（x）的值域為[2，+∞）成立，a＞1恒成立．
綜上可得a∈[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）．
故答案為：（2，$\frac{9}{4}$），[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的值域的問題解法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．