Question

18．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x-y≥-2\\ x≤2\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域為D，點O（0，0）、A（1，0），若M是D上的動點，則向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，設(shè)向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OM}$的夾角為θ，求得向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影z=$|\overrightarrow{OA}|cosθ$．數(shù)形結(jié)合求出cosθ的最小值得答案．

解答 解：設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OM}=（x，y）$，
再設(shè)向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OM}$的夾角為θ，
則向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影z=$|\overrightarrow{OA}|cosθ$．
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x-y≥-2\\ x≤2\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得B（1，3），
∴cosθ的最小值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影z=$|\overrightarrow{OA}|cosθ$的最小值為1×$\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．