分析 (1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)P滿足橢圓方程,以及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)聯(lián)立方程組{3x2+4y2=12y=kx+m,設(shè)M(x1,y1)N(x2,y2),A(2,0),可得(3+4k2)x2+8km+4m2-12=0,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,得到,7m2+16km+4k2=0,7m=-2k,m=-2k,代入求解即可得出定點(diǎn).
解答 解:(1)由題意可得e=ca=12,
又a2-b2=c2,
且1a2+942=1,
解得a=2,c=1,b=√3,
可得橢圓的方程為x24+y23=1;
(2)證明:由{3x2+4y2=12y=kx+m,M(x1,y1)N(x2,y2),A(2,0),
可得(3+4k2)x2+8km+4m2-12=0,
x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2,△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
即4k2>m2-3,
由AM⊥AN,可得y1x1−2•y2x2−2=-1,
即為(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=0,
即(k2+1)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,
即有(k2+1)•4m2−123+4k2+(mk-2)(-8km3+4k2)+m2+4=0,
化簡可得7m2+16km+4k2=0,
m=-27k或m=-2k,滿足判別式大于0,
當(dāng)m=-27k時(shí),y=kx+m=k(x-27)(k≠0),
直線l過定點(diǎn)(27,0);
當(dāng)m=-2k時(shí),y=kx-2k=k(x-2),直線l過定點(diǎn)(2,0).
由右頂點(diǎn)為A(2,0),則直線l過定點(diǎn)(2,0)不符合題意,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),也成立.
根據(jù)以上可得:直線l過定點(diǎn),且為(27,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理整體求解,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 合情推理 | B. | 綜合法 | C. | 分析法 | D. | 反證法 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 9 | B. | 14 | C. | 19 | D. | 24 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 2\sqrt{3} | C. | \frac{7\sqrt{2}}{3} | D. | \frac{7\sqrt{2}}{6} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [\sqrt{2},+∞) | B. | (1,\sqrt{2}] | C. | (1,\sqrt{3}) | D. | (\sqrt{2},2) |
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