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6.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)過點(diǎn)P(1,32),其離心率為12
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A,直線l交C于兩點(diǎn)M、N(異于點(diǎn)A),且AM⊥AN,證明直線l過定點(diǎn).

分析 (1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)P滿足橢圓方程,以及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)聯(lián)立方程組{3x2+4y2=12y=kx+m,設(shè)M(x1,y1)N(x2,y2),A(2,0),可得(3+4k2)x2+8km+4m2-12=0,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,得到,7m2+16km+4k2=0,7m=-2k,m=-2k,代入求解即可得出定點(diǎn).

解答 解:(1)由題意可得e=ca=12,
又a2-b2=c2
1a2+942=1,
解得a=2,c=1,b=3,
可得橢圓的方程為x24+y23=1;
(2)證明:由{3x2+4y2=12y=kx+m,M(x1,y1)N(x2,y2),A(2,0),
可得(3+4k2)x2+8km+4m2-12=0,
x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2123+4k2,△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
即4k2>m2-3,
由AM⊥AN,可得y1x12y2x22=-1,
即為(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=0,
即(k2+1)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,
即有(k2+1)•4m2123+4k2+(mk-2)(-8km3+4k2)+m2+4=0,
化簡可得7m2+16km+4k2=0,
m=-27k或m=-2k,滿足判別式大于0,
當(dāng)m=-27k時(shí),y=kx+m=k(x-27)(k≠0),
直線l過定點(diǎn)(27,0);
當(dāng)m=-2k時(shí),y=kx-2k=k(x-2),直線l過定點(diǎn)(2,0).
由右頂點(diǎn)為A(2,0),則直線l過定點(diǎn)(2,0)不符合題意,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),也成立.
根據(jù)以上可得:直線l過定點(diǎn),且為(27,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理整體求解,屬于中檔題.

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1.已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn),P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點(diǎn)F(-1,0)的距離為d2,且b9nzlhd2f7bdrbf1=22
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B都在x軸上方),且
∠OFA+∠OFB=180°.
(i)當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l的方程;
(ii)是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論∠OFA如何變化,直線l總過該定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求橢圓的方程;
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