Question

13．已知P為拋物線y²=3x上的一個動點，Q為圓$C：{（x+\frac{1}{4}）^2}+{（y-1）^2}=\frac{1}{16}$上一個動點，點P到y(tǒng)軸距離為d，則|PQ|+d的最小值為$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線焦點為F，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知d=|PF|-1，連結(jié)CF，則d+|PQ|的最小值為|CF|-1，求解即可．

解答 解：∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{3}{4}$，焦點F（$\frac{3}{4}$，0）．
P到直線x=-$\frac{3}{4}$的距離等于|PF|，
∴P到y(tǒng)軸的距離d=|PF|-$\frac{3}{4}$，|PQ|=|PC|-$\frac{1}{4}$
∴d+|PQ|=|PF|+|PC|-$\frac{3}{4}$$-\frac{1}{4}$．
∴當(dāng)F，P，Q三點共線時，|PF|+|PQ|取得最小值|CF|-1．
圓$C：{（x+\frac{1}{4}）^2}+{（y-1）^2}=\frac{1}{16}$上一個動點，
∵C（-$\frac{1}{4}$，1），F(xiàn)（$\frac{3}{4}$，0），∴|CF|=$\sqrt{2}$，
∴d+|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，兩點間的距離公式，屬于中檔題．