Question

19．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水尤為突出，某市為了制定合理的節(jié)水方案，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量，整理得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中a的值并估計樣本的眾數(shù)；
（2）該市計劃對居民生活用水試行階梯水價，即每位居民月用水量不超過ω噸的按2元/噸收費，超過ω噸不超過2ω噸的部分按4元/噸收費，超過2ω噸的部分按照10元/噸收費．
①用樣本估計總體，為使75%以上居民在該月的用水價格不超過4元/噸，ω至少定為多少？
②假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當(dāng)ω=2時，估計該市居民該月的人均水費．

Answer 1

分析 （1）由頻率和為1，求出a的值，根據(jù)眾數(shù)的定義得出眾數(shù)的值；
（2）①根據(jù)題意得出月用水量在[0，2.5]內(nèi)的頻率為0.75，從而得出ω的值；
②ω=2時，計算居民月用水量對應(yīng)的該月人均水費即可．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知每段內(nèi)的頻率是：
[0，0.5]：0.04；（0.5，1]：0.08；（1，1.5]：0.15；
 （1.5，2]：0.22； （2，2.5]：0.26； （2.5，3]：0.5a；
（3，3.5]：0.06；（3.5，4]：0.04； （4.4.5]：0.02；
則由0.04+0.08+0.15+0.22+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.26，…（2分）
眾數(shù)為[2，2.5]的中點值2.25；…（4分）
（2）①由（1）可知月用水量在[0，2.5]內(nèi)的頻率為
0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75，
∴ω的值至少為1.25；…（6分）
②若ω=2，
當(dāng)居民月用水量在[0，2]時，居民該月的人均水費為：
（0.04×0.5+0.08×1+0.15×1.5+0.22×2）×2=1.53；…（7分）
當(dāng)居民月用水量在（2，2.5]時，居民該月的人均水費為：（2×2+0.5×4）×0.26=1.56，
當(dāng)居民月用水量在（2.5，3]時，居民該月的人均水費為：（2×2+1×4）×0.13=1.04，
當(dāng)居民月用水量在（3，3.5]時，居民該月的人均水費為：（2×2+1.5×4）×0.06=0.6，
當(dāng)居民月用水量在（3.5，4]時，居民該月的人均水費為：（2×2+2×4）×0.04=0.48；…（9分）
當(dāng)居民月用水量在（4，4.5]時，居民該月的人均水費為：（2×2+2×4+0.5×10）×0.02=0.34；…（10分）
∴居民月人均水費為1.53+1.56+1.04+0.6+0.48+0.34=5.55元．…（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．