分析 (1)設A1C1邊的中點為O,連接OB1,推導出CO⊥面A1B1C1,從而面A1C1CA⊥面A1C1C1,進而B1O⊥面A1C1CA,推導出四邊形BB1OD為平行四邊形,由此能證明BD⊥面A1C1CA.
(2)如圖,以O為原點,OB1為x軸,OC1為y軸,OC為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出滿足條件的λ的值.
解答 證明:(1)設A1C1邊的中點為O,連接OB1,因為點C在底面的射影為O點,
所以CO⊥面A1B1C1,又因為CO?面A1C1CA,所以面A1C1CA⊥面A1C1C1,…(2分)
因為A1B1=B1C1,∠A1B1C1=90°,面A1B1C1∩A1C1CA=A1C1,
所以B1O⊥面A1C1CA.…(4分)
連接DO,B1O,∵DO$\underset{∥}{=}$BB1,∴四邊形BB1OD為平行四邊形,
∴BD∥B1O,所以BD⊥面A1C1CA.…(6分)
解:(2)如圖,以O為原點,OB1為x軸,OC1為y軸,OC為z軸,建立空間直角坐標系,
則A1(0,-$\sqrt{2}$,0),B1($\sqrt{2},0,0$),C(0,0,$\sqrt{2}$),${C}_{1}(0,\sqrt{2},0)$,
∵$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$λ\overrightarrow{{C}_{1}C}$=(0,-$\sqrt{2}λ$,$\sqrt{2}λ$),(0<λ<1),∴E(0,$\sqrt{2}(1-λ)$,$\sqrt{2}λ$),…(8分)
設平面A1B1E的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(x,y,z),因為$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=($\sqrt{2},\sqrt{2}$,0),$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=(0,$\sqrt{2}(2-λ),\sqrt{2}λ$),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=\sqrt{2}(2-λ)+\sqrt{2}λz=0}\end{array}\right.$,令x=1,得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,-1,$\frac{2-λ}{λ}$),…(10分)
而平面A1C1AC的一個法向量是$\overrightarrow{{n}_{2}}$=($\sqrt{2},0,0$),
則cos<$\overrightarrow{{n}_{1}},\overrightarrow{{n}_{2}}$>=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{2+(\frac{2-λ}{λ})^{2}}}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$,解得$λ=\frac{1}{2}$或λ=-1,
因為0<λ<1,所以$λ=\frac{1}{2}$.…(12分)
點評 本題考查線面垂直的證明,考查滿足條件的實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |
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x | 3 | 6 | 7 | 9 | 10 |
y | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
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A. | 24萬元 | B. | 27萬元 | C. | 30萬元 | D. | 33萬元 |
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