11.如圖:在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1B1C1=90°,A1B1=B1C1=AA1=2,且C在底面A1B1C1上的射影A1C1邊的中點,D為AC的中點,點E在CC1上,且$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{C}_{1}C}$(0<λ<1)
(1)求證:BD丄平面ACC1A1
(2)當λ為何值時,二面角B1-A1E-C1的余弦值為$\frac{\sqrt{11}}{11}$.

分析 (1)設A1C1邊的中點為O,連接OB1,推導出CO⊥面A1B1C1,從而面A1C1CA⊥面A1C1C1,進而B1O⊥面A1C1CA,推導出四邊形BB1OD為平行四邊形,由此能證明BD⊥面A1C1CA.
(2)如圖,以O為原點,OB1為x軸,OC1為y軸,OC為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出滿足條件的λ的值.

解答 證明:(1)設A1C1邊的中點為O,連接OB1,因為點C在底面的射影為O點,
所以CO⊥面A1B1C1,又因為CO?面A1C1CA,所以面A1C1CA⊥面A1C1C1,…(2分)
因為A1B1=B1C1,∠A1B1C1=90°,面A1B1C1∩A1C1CA=A1C1
所以B1O⊥面A1C1CA.…(4分)
連接DO,B1O,∵DO$\underset{∥}{=}$BB1,∴四邊形BB1OD為平行四邊形,
∴BD∥B1O,所以BD⊥面A1C1CA.…(6分)
解:(2)如圖,以O為原點,OB1為x軸,OC1為y軸,OC為z軸,建立空間直角坐標系,
則A1(0,-$\sqrt{2}$,0),B1($\sqrt{2},0,0$),C(0,0,$\sqrt{2}$),${C}_{1}(0,\sqrt{2},0)$,
∵$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$λ\overrightarrow{{C}_{1}C}$=(0,-$\sqrt{2}λ$,$\sqrt{2}λ$),(0<λ<1),∴E(0,$\sqrt{2}(1-λ)$,$\sqrt{2}λ$),…(8分)
設平面A1B1E的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(x,y,z),因為$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=($\sqrt{2},\sqrt{2}$,0),$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=(0,$\sqrt{2}(2-λ),\sqrt{2}λ$),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=\sqrt{2}(2-λ)+\sqrt{2}λz=0}\end{array}\right.$,令x=1,得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,-1,$\frac{2-λ}{λ}$),…(10分)
而平面A1C1AC的一個法向量是$\overrightarrow{{n}_{2}}$=($\sqrt{2},0,0$),
則cos<$\overrightarrow{{n}_{1}},\overrightarrow{{n}_{2}}$>=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{2+(\frac{2-λ}{λ})^{2}}}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$,解得$λ=\frac{1}{2}$或λ=-1,
因為0<λ<1,所以$λ=\frac{1}{2}$.…(12分)

點評 本題考查線面垂直的證明,考查滿足條件的實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

練習冊系列答案
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4.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=1+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),以原點為極點,以x軸為正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$.
(1)求曲線C1與曲線C2的直角坐標方程;
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(1)求曲線C的直角坐標方程及l(fā)的普通方程;
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x367910
y1210887
(Ⅰ)判定y與x的是正相關還是負相關;并求回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$;
(Ⅱ)若該地1月份某天的最低氣溫為0℃,預測該店當日的營業(yè)額
(參考公式:$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}{y}_{i})-n(\overline{x}\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.)

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