Question

12．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)向量，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$＞0，|$\overrightarrow$|≥4，若對(duì)任意m，n∈R，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$|的最小值是1，|$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{a}$|的最小值是2，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 數(shù)形結(jié)合，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}=-m\overrightarrow$，則$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+m\overrightarrow$，則由題意可得，當(dāng)（$\overrightarrow{a}+m\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$時(shí)，|$\overrightarrow{a}+m\overrightarrow$|取得最小值是|CB|=1．設(shè)$\overrightarrow{OD}=-n\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow+n\overrightarrow{a}$，當(dāng)（$\overrightarrow+n\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{a}$時(shí)，|$\overrightarrow+n\overrightarrow{a}$|取得最小值是|DA|=2．求出兩個(gè)向量夾角的最大值，根據(jù)投影的定義得到所求．

解答 解：已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)向量，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$＞0，|$\overrightarrow$|≥4，
若對(duì)任意m，n∈R，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$|的最小值是1，
|$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{a}$|的最小值是2，如圖，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}=-m\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+m\overrightarrow$，
則由題意可得，當(dāng)（$\overrightarrow{a}+m\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$時(shí)，
|$\overrightarrow{a}+m\overrightarrow$|取得最小值是|CB|=1．
設(shè)$\overrightarrow{OD}=-n\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow+n\overrightarrow{a}$，
當(dāng)（$\overrightarrow+n\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{a}$時(shí)，|$\overrightarrow+n\overrightarrow{a}$|取得最小值是|DA|=2．
根據(jù)sin∠BOC=$\frac{BC}{OB}=\frac{AD}{OA}$=$\frac{1}{OB}=\frac{2}{OA}$．
再根據(jù)|OA|≥4，可得|OB|≥2，∴sin∠BOC≤$\frac{1}{2}$，
∴∠BOC≤$\frac{π}{6}$，
則$|\overrightarrow{a}|•cos∠BOC≥2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$；
故答案為：$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．