Question

12．在平面直角坐標系中，已知A（0，2），B（-2，0），P是曲線$x=\sqrt{1-{y^2}}$上的一個動點，則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$的最大值為4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 推導出曲線$x=\sqrt{1-{y^2}}$是以原點為圓心，以1為半徑的右半圓，設(shè)P（cosα，sinα），α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，則$\overrightarrow{BA}$=（2，2），$\overrightarrow{BP}$=（cosα+2，sinα），由此利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$的最大值．

解答 解：曲線$x=\sqrt{1-{y^2}}$是以原點為圓心，以1為半徑的右半圓，
∵A（0，2），B（-2，0），P是曲線$x=\sqrt{1-{y^2}}$上的一個動點，
∴設(shè)P（cosα，sinα），α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
則$\overrightarrow{BA}$=（2，2），$\overrightarrow{BP}$=（cosα+2，sinα），
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$=2cosα+4+2sinα=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）+4，
∵α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，∴$α+\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當$α+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$時，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）+4取最大值4+2$\sqrt{2}$．
故答案為：4+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查向量積的最大值的求法，考查圓、三角函數(shù)、向量等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、運動與方程思想，考查應用意識、創(chuàng)新意識，是中檔題．