Question

12．已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點A∈α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A-BC-O的大小．

Answer 1

分析 在α內過O作OD⊥BC，連結AD，推導出BC⊥AD，從而∠ADO為二面角A-BC-O的平面角，解Rt△ADO，能求出結果．

解答 解：如圖，在平面α內，過O作OD⊥BC，垂足為D，連結AD，
設OC=a，∵AO⊥α，BC?α，
∴AO⊥BC，又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD，
∵AD?平面AOD，∴AD⊥BC，
∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角，
∵AO⊥α，OB?α，OC?α，∴AO⊥OB，AO⊥OC，
又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴AO=a，AC=$\sqrt{2}a$，AB=2a，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{6}a$，∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{2a•\sqrt{2}a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
在Rt△AOD中，sin∠ADO=$\frac{AO}{AD}=\frac{a}{\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADO=60°．
∴二面角A-BC-O的大小是60°．

點評 本題考查二面角的求法，是中檔題，解題基本步驟為“一作二證三求”，解題時要注意頂點位置的合理選擇．