Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}是首項為4的正項等比數(shù)列，且2b₂，b₃-3，b₂+2成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n（n∈N^*），得到a₁=S₁=5，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n+2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；由數(shù)列{b_n}是首項為4的正項等比數(shù)列，且2b₂，b₃-3，b₂+2成等差數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式、等差數(shù)列性質列出方程，求出公比，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由c_n=a_n•b_n=（3n+2）•2ⁿ⁺¹=（6n+4）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n（n∈N^*），
∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}+\frac{7}{2}$=5，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{7}{2}n$）-[$\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{7}{2}（n-1）$]
=3n+2，
當n=1時，上式成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n+2．
∵數(shù)列{b_n}是首項為4的正項等比數(shù)列，且2b₂，b₃-3，b₂+2成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（4{q}^{2}-3）=2（4q）+4q+2}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得q=2．
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（Ⅱ）∵c_n=a_n•b_n=（3n+2）•2ⁿ⁺¹=（6n+4）•2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和：
T_n=10×2+16×2²+22×2³+…+（6n+4）×2ⁿ，①
2T_n=10×2²+16×2³+22×2³+…+（6n+4）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=20+6（2²+2³+…+2ⁿ）-（6n+4）×2ⁿ⁺¹
=20+6×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（6n+4）×2ⁿ⁺¹
=-4-（6n-2）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（6n-2）×2ⁿ⁺¹+4．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．