Question

4．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，0≤x＜2}\\{1-lo{g}_{2}x，x≥2}\end{array}\right.$，若不等式f（2a-1）-f（a+2）≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{3}$，3]．

Answer 1

分析 作出當(dāng)x≥0時的函數(shù)f（x）的圖象，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：作出當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則此時函數(shù)為減函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴不等式f（2a-1）-f（a+2）≥0等價為不等式f（2a-1）≥f（a+2），
即f（|2a-1|）≥f（|a+2|），
則|2a-1|≤|a+2|，
平方得4a²-4a+1≤a²+4a+4，
即3a²-8a-3≤0，
得-$\frac{1}{3}$≤a≤3，
故答案為：[-$\frac{1}{3}$，3]．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．