Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}={2^{n+1}}-2$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)${S_n}={2^{n+1}}-2$與S_n-1=2ⁿ-2（n≥2）作差可知a_n=2ⁿ，進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否成立即可；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=n•2ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)?{S_n}={2^{n+1}}-2$，
所以S_n-1=2ⁿ-2（n≥2），
兩式相減得：a_n=2ⁿ，
又因?yàn)閍₁=S₁=2滿足上式，
所以${a_n}={2^n}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
所以T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．