Question

19．函數(shù)y=a^x+2-3（a＞0，a≠1）恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny=-2（m＞0，n＞0）上，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{3-2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 容易得出A點(diǎn)的坐標(biāo)（-2，-2），這樣代入直線方程即可得到m+n=1，其中m＞0，n＞0，從而便可得出$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2+\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$，這樣根據(jù)基本不等式便可求出$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：據(jù)題意知，A（-2，-2）；
點(diǎn)A在直線mx+ny=-2上；
∴-2m-2n=-2；
∴m+n=1，m＞0，n＞0；
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{m}+\frac{m+n}{n}$
=$1+\frac{n}{m}+\frac{m}{n}+1$≥2+2=4，當(dāng)$\frac{n}{m}=\frac{m}{n}$，即m=n時取“=”；
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為4．
故選：B．

點(diǎn)評 考查函數(shù)過定點(diǎn)的概念，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程的關(guān)系，以及基本不等式的運(yùn)用．