Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x+sin²（x+$\frac{π}{4}}$）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$）時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用兩角和余差的基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$）時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x+sin²（x+$\frac{π}{4}}$）．
?f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{2}）$
?f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
?f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
∵sinx單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）
∴2x$+\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）
解得：x∈[$kπ-\frac{5π}{12}$，$kπ+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）
∴f（x）的最小正周期為π；單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{5π}{12}$，$kπ+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$），
∴2x$+\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
可知：當(dāng)2x$+\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值，即$f（x）_{min}=sin\frac{7π}{6}+\frac{1}{2}$=0．
當(dāng)2x$+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=sin\frac{π}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．
∴x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$）時(shí)，f（x）的取值范圍在$[0，\frac{3}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．