Question

20．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）．則使不等式f（x）≥$\frac{3}{2}$成立的x的取值集合為{x|kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x），求出不等式的解集即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），x∈R，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（sinx+cosx，2cosx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）
=sinx•（sinx+cosx）+2cos²x
=sin²x+sinxcosx+2cos²x
=sinxcosx+cos²x+1
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+1
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$；
令f（x）≥$\frac{3}{2}$，
得sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥0，
∴2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
所求x的取值集合為{x|kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．
故答案為：{x|kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算問題，也考查三角函數(shù)的恒等變換以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．