Question

10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x²-1）＞-2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)x＜0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)分析可得x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，由奇函數(shù)的性質(zhì)分析可得f（0）=0，綜合可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式對(duì)不等式f（x²-1）＞-2分3種情況討論，①x²-1＞0，②x²-1=0，③x²-1＜0，綜合三種情況即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，則f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）．
因此當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）．
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0
所以函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_{\frac{1}{2}}}x，x＞0\\ 0，x=0\\-{log_{\frac{1}{2}}}（-x），x＜0\end{array}\right.$，
（2）不等式f（x²-1）＞-2可化為，
當(dāng)x²-1＞0時(shí)，${log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-1）＞-2$，解得0＜x²-1＜4；
當(dāng)x²-1=0時(shí)，0＞-2，滿足條件；
當(dāng)x²-1＜0時(shí)，$-{log_{\frac{1}{2}}}（-{x^2}+1）＞-2$，解得${x^2}-1＜-\frac{1}{4}$．
所以，0≤x²-1＜4或${x^2}-1＜-\frac{1}{4}$
解得$1≤x＜\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}＜x≤-1$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即不等式的解集為$[1，\sqrt{5}）∪（-\sqrt{5}，-1]∪（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的求法以及不等式的解法，關(guān)鍵是求出函數(shù)的解析式．