Question

1．如圖，在?ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是兩條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，點M是邊AB的一個三等分點，則△AOE與△BMF的面積比為3：4．

Answer 1

分析 作MH⊥BC于H，設(shè)AB=AC=m，則BM=$\frac{1}{3}$m，MH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{6}$m，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OA=OC=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m$，解直角三角形求得FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，再推導(dǎo)出△AOE≌△COF，證得AE=FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，進而求得OE=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，從而求得${S}_{△AOE}=\frac{\sqrt{3}}{24}{m}^{2}$，作AN⊥BC于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形求得BC=$\sqrt{3}m$，進而求得BF=BC-FC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m，分別求出△AOE與△BMF的面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)AB=AC=m，則BM=$\frac{1}{3}$m，
∵O是兩條對角線的交點，∴OA=OC=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$m，
∵∠B=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，∴cos∠ACB=$\frac{OC}{FC}$，即cos30°=$\frac{\frac{1}{2}m}{FC}$，
∴FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∵AE∥FC，∴∠EAC=∠FCA，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，∴AE=FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
∴OE=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{\sqrt{3}}{6}m$，
∴${S}_{△AOE}=\frac{1}{2}×OA×OE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}π×\frac{\sqrt{3}}{6}m$=$\frac{\sqrt{3}}{24}{m}^{2}$，
作AN⊥BC于N，∵AB=AC，
∴BN=CN=$\frac{1}{2}BC$，
∵BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，∴BC=$\sqrt{3}m$，
∴BF=BC-FC=$\sqrt{3}m-\frac{\sqrt{3}}{3}m$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m，
作MH⊥BC于H，∵∠B=30°，∴MH=$\frac{1}{2}BM=\frac{1}{6}m$，
∴S_△BMF=$\frac{1}{2}×BF×MH=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}m×\frac{1}{6}m$=$\frac{\sqrt{3}}{18}{m}^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△BMF}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{24}{m}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{18}{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：3：4．

點評 本題考查兩個三角形的面積的比值的求法，考查平行線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．