Question

20．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數），曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（1）將曲線C的參數方程化為普通方程；
（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用倍角公式可得y=cos2θ=2cos²θ-1=$2×（\frac{x}{4}）^{2}$-1，化簡整理可得曲線C的普通方程，注意x的取值范圍．
（2）直線l的普通方程為x-y+3=0，利用點到直線的距離公式可得：曲線C上的點到l的距離d=$\frac{|4cosθ-cos2θ+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2（cosθ-1）^{2}-6|}{\sqrt{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴y=cos2θ=2cos²θ-1=$2×（\frac{x}{4}）^{2}$-1，
化為y=$\frac{{x}^{2}}{8}$-1，cosθ∈[-1，1]，可得x∈[-1，1]．
∴曲線C的普通方程為：y=$\frac{{x}^{2}}{8}$-1，x∈[-1，1]．
（2）直線l的普通方程為x-y+3=0，曲線C上的點到l的距離d=$\frac{|4cosθ-cos2θ+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2（cosθ-1）^{2}-6|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
當cosθ=1時，d取得最大值3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、倍角公式、和差公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．