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7.已知函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(13)=310
(1)求f(x)的解析式;
(2)判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性并證明;
(3)當存在x∈[12,1]使得不等式f(mx-x)+f(x2-1)>0恒成立,請同學(xué)們探究實數(shù)m的所有可能取值.

分析 (1)根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可確定f(x)的解析式;
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f(x)的單調(diào)性并用定義證明;
(3)利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即mx-x>1-x2,即存在x∈[12,1]使mx-x>1-x2成立即-1≤mx-x≤1成立.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),
∴b=0,f(x)=ax1+x2,而f(13)=310,即13a1+19=310,解得:a=1,
故f(x)=x1+x2
(2)函數(shù)f(x)=x1+x2在[-1,1]上為增函數(shù);
下證明:設(shè)任意x1,x2∈[-1,1]且x1<x2
則f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x21+x22=x1x21x1x2x12+1x22+1
因為x1<x2,所以x1-x2<0,又因為x1,x2∈[-1,1],所以1-x1x2>0
x1x21x1x2x12+1x22+1<0,即f(x1)<f(x2),
故函數(shù)f(x)在[-1,1]上為增函數(shù);
(3)因為f(mx-x)+f(x2-1)>0,所以f(mx-x)>-f(x2-1),
即f(mx-x)>f(1-x2),
又由( II)函數(shù)y=f(x)在[-1,1]上為增函數(shù),
所以mx-x>1-x2,即存在x∈[12,1]使mx-x>1-x2成立即-1≤mx-x≤1成立,
即存在x∈[12,1]使m>-x+1x+1成立且1-1x≤m≤1+1x成立,
得:m>1且-1≤m≤2,
故實數(shù)m的所有可能取值{m|1<m≤2}.

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,以及函數(shù)單調(diào)性的證明,綜合考查函數(shù)的性質(zhì),屬于難題.

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