【題目】過橢圓右焦點的直線交橢圓與A，B兩點，為其左焦點，已知的周長為8，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由橢圓的定義可知，的周長為，可求，再由離心率可求，即可求出橢圓的方程；

（2）假設(shè)存在滿足條件的圓.當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，代入橢圓的方程，根據(jù)韋達定理，再結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑，求出圓的半徑，寫出圓的方程，最后驗證直線的斜率不存在時也成立.

（1）由橢圓的定義可知，的周長為，

由題意，又，

，

所以橢圓的方程為.

（2）假設(shè)存在滿足條件的圓，設(shè)圓的方程為.

當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為.

由，得，

，

.

，

即，

即，整理得.

直線與圓相切，，

存在圓滿足條件.

當直線的斜率不存在時，圓也滿足條件.

綜上，存在圓滿足條件.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：定義在上的函數(shù)的極大值為.

（1）求實數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的不等式有且只有一個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知分別是橢圓的左右焦點.

（Ⅰ）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點， ,求點的坐標.

（Ⅱ）若直線與圓相切，交橢圓于兩點，是否存在這樣的直線，使得？

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【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角為，若存在，求出線段的長度；若不存在，說明理由.

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【題目】袋中裝有9只球，其中標有數(shù)字1，2，3，4的小球各2個，標數(shù)字5的小球有1個.從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字.

（1）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；

（2）求隨機變量的分布列和期望.

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【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且點在橢圓C上.橢圓C的左頂點為A.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓的右焦點且斜率為的直線與橢圓交于P，Q兩點，求三角形APQ的面積；

（3）過點A作直線與橢圓C交于另一點B.若直線交軸于點C，且，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù).

（1）當時，解不等式；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若點在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)在生物研究性學(xué)習中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究，于是他在4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日

溫差

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y/顆

23

25

30

26

16

（1）從這5天中任選2天，求這2天發(fā)芽的種子數(shù)均不小于25的概率；

（2）從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

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