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3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a2+c2=b2-ac.
(1)求B的大��;
(2)設(shè)∠BAC的平分線AD交BC于D,AD=23,BD=1,求cosC的值.

分析 (1)利用余弦定理可得:cosB=-12,B∈(0,π),可得B.
(2)在△ABD中,由正弦定理可得:\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{1}{sin∠BAD},解得sin∠BAD.cos∠BAC=cos2∠BAD=1-2sin2∠BAD.可得sin∠BAC=\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}.可得cosC=cos(60°-∠BAC).

解答 解:(1)在△ABC中,∵a2+c2=b2-ac,即a2+c2-b2=-ac.
∴cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=-\frac{ac}{2ac}=-\frac{1}{2},B∈(0,π),可得B=\frac{2π}{3}
(2)在△ABD中,由正弦定理可得:\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{1}{sin∠BAD}
解得sin∠BAD=\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{4}
cos∠BAC=cos2∠BAD=1-2sin2∠BAD=1-×2×\frac{1}{16}=\frac{7}{8}
∴sin∠BAC=\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{7}{8})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{8}
∴cosC=cos(60°-∠BAC)=\frac{1}{2}×\frac{7}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{7+3\sqrt{5}}{16}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、角平分線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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