精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知函數數學公式在點M(-1,y0)的切線方程為x+y+3=0.
(Ⅰ)求點M的坐標;
(Ⅱ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅲ)設g(x)=lnx,求證:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.

(Ⅰ)解:將x=-1代入切線方程x+y+3=0得y0=-2,∴M(-1,-2)…(2分)
(Ⅱ)解:,化簡得b-a=-4①.…(4分)
求導函數,則②.…(6分)
由①②解得:a=2,b=-2
. …(8分)
(Ⅲ)證明:要證在[1,+∞)上恒成立
即證(x2+1)lnx≥2x-2在[1,+∞)上恒成立
即證x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.…(10分)
設h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,
∵x≥1,∴,即h'(x)≥0.…(12分)
∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增,h(x)≥h(1)=0
∴g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.…(14分)
分析:(Ⅰ)將x=-1代入切線方程x+y+3=0可得M的坐標;
(Ⅱ)利用切點在函數圖象上,該點的切線的斜率為-1,建立方程,即可求得函數的解析式;
(Ⅲ)利用分析法證明,要證在[1,+∞)上恒成立,轉化為證明x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立,構造函數,利用導數確定函數的單調性,即可證得結論.
點評:本題考查導數知識的運用,考查導數的幾何意義,考查恒成立問題,解題的關鍵是正確求導,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:福建省四地六校2012屆高三第一次聯考數學文科試題 題型:044

已知函數在點M(-1,y0)的切線方程為x+y+3=0.

(Ⅰ)求點M的坐標;

(Ⅱ)求函數f(x)的解析式;

(Ⅲ)設g(x)=lnx,求證:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:黑龍江省大慶鐵人中學2012屆高三上學期期中考試數學文科試題 題型:044

已知函數在點M(-1,y0)的切線方程為x+y+3=0.

(Ⅰ)求點M的坐標;

(Ⅱ)求函數f(x)的解析式;

(Ⅲ)設g(x)=lnx,求證:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2012-2013學年湖北省武漢市部分重點中學高三(上)起點考試數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知函數在點M(-1,y)的切線方程為x+y+3=0.
(Ⅰ)求點M的坐標;
(Ⅱ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅲ)設g(x)=lnx,求證:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2013年山東省臨沂市高考數學三模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知函數在點A(1,f(1))處的切線l的斜率為零.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)若對任意的x1,x2∈[m,m+3],不等式恒成立,這樣的m是否存在?若存在,請求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案