Question

19．f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（Ⅰ）f（x）=x的二實(shí)根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$對(duì)x∈（0，x₁），比較f（x）與x₁的大小；
（Ⅱ）若|f（x）|＜1的解集（-1，3），求a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作差，通過x的范圍，判斷出f（x）-x₁＜0，從而比較其大小即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，得到關(guān)于a，b，c的不等式組，求出a的范圍取并集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）-x=a（x-x₁）（x-x₂），
∴f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴f（x）-x₁=a（x-x₁）（x-x₂）+（x-x₁）=（x-x₁）[a（x-x₂）+1]，
∵$0＜{x_1}＜{x_2}＜\frac{1}{a}\;\;\;\;\;∴-\frac{1}{a}＜x-{x_2}＜0$，
∵a＞0∴a（x-x₁）+1＞0x-x₁＜0，
∴f（x）-x₁＜0∴f（x）＜x₁…（6分）
（Ⅱ）①a＞0，ax²+bx+c＜1，
解集（-1，3）且f（x）_min＞-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-1+3=-\frac{a}\\-1×3=\frac{c-1}{a}\end{array}\right.\;\;\;\;\;∴\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ c=-3a+1\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²-2ax+1-3a，
∴f（x）_min=a-2a+1-3a＞-1，
∴$0＜a＜\frac{1}{2}$…（10分）
②若a＜0，則-ax²-bx-c＜1解集（-1，3）且f_max（x）＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{a}=-1+3\\ \frac{c+1}{a}=-1×3\end{array}\right.\;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ c=-3a=1\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²-2ax-3a-1，
∴f（x）_max=a-2a-3a-1＜1，
∴$-\frac{1}{2}＜a＜0$
綜上述$-\frac{1}{2}＜a＜0$或$0＜a＜\frac{1}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．