Question

1．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點(diǎn)為F（-c，0），其上頂點(diǎn)為B（0，b），直線BF與橢圓的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C
（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且c=1，求橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)O為原點(diǎn)，若直線OC恰好平分線段AB，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且c=1，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程．
（Ⅱ）直線BF的方程為：$y=\frac{c}x+b$，代入橢圓方程，求出C的坐標(biāo)，可得直線OC的方程為$y=-\frac{b^3}{{2{a^2}c}}x$，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得a²=3c²，即可求橢圓的離心率．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為$（-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且c=1，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1}\\{{a^2}-{b^2}=1}\end{array}}\right.⇒\frac{9}{{4（{b^2}+1）}}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1⇒4{b^4}-7{b^2}-2=0⇒b=\sqrt{2}$
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）直線BF的方程為：$y=\frac{c}x+b$，
代入橢圓可得：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{{{（x+c）}^2}}}{c^2}=1⇒$$（{a^2}+{c^2}）{x^2}+2{a^2}cx=0⇒{x_1}=0，{x_2}=-\frac{{2{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}$，
從而可得${y_2}=-\frac{b^3}{{{a^2}+{c^2}}}$，則點(diǎn)C為$（-\frac{{2{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}$，$\frac{b^3}{{{a^2}+{c^2}}}）$，
則直線OC的方程為$y=-\frac{b^3}{{2{a^2}c}}x$，線段AB的中點(diǎn)為$（-\frac{{{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}，\frac{{b{c^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}）$，
則有$\frac{{b{c^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}=\frac{b^3}{{2{a^2}c}}•\frac{{{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}⇒{b^2}=2{c^2}$⇒a²=3c²$⇒e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．