Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，若直線是曲線的切線，求的最大值；

（2）設(shè)，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求的最大整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)）

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，因此，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可求出 的最大值，即求出的最大值.

（2）根據(jù)題意，關(guān)于的方程有兩個不同的解，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)得到存在使得.則要使得關(guān)于的方程有兩個不同的解，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)經(jīng)驗(yàn)證 有兩個不同的零點(diǎn)，即可證明.

解：（1）設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，

，，.

又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以.所以

.因此

設(shè)，則

令得，；令得，.

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

的最大值為.則的最大值為.

（2）函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn),

等價(jià)于方程有兩個不相等的實(shí)根.

設(shè)，則等價(jià)于方程有兩個不同的解，

即關(guān)于的方程有兩個不同的解，設(shè),

則.設(shè)，由可知

在上單調(diào)遞減，又

存在使得，即，則.

當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)

，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的極大值為

.

要使得關(guān)于的方程有兩個不同的解，則.

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則

可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又 p（1）＝0

所以有兩個不同的零點(diǎn)，符合題意，所以的最大整數(shù)值為.