Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）判斷并說明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).若函數(shù)所有零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）存在兩個(gè)零點(diǎn)，詳見解析； 的最小值為3

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論的正負(fù)，確定的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)存在的區(qū)間．首先確定上有一個(gè)零點(diǎn)，然后確定，，，上有否零點(diǎn)，從而可得的最小值．

解：（1）的定義域?yàn)?/span>，

，

令，得，（舍）.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2），

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，

所以，在上單調(diào)遞增，

又，，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)，，，

所以單調(diào)遞減，

又，

所以，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以，故不存在零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，，

所以單調(diào)遞減，

又，，

所以存在，使得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

又，，，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)時(shí)，，故不存在零點(diǎn).

綜上，存在兩個(gè)零點(diǎn)，，且，，

因此的最小值為3.