Question

5．已知函數f（x）=sinx•cosx-$\sqrt{3}{cos^2}$x．
（1）f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數f（x）的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象，若方程g（x）+$\frac{{\sqrt{3}+m}}{2}$=0在x∈[0，π]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數的周期性和單調性，求得f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．
（2）函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=sinx•cosx-\sqrt{3}{cos^2}x$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1+cos2x）$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
因此f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈z，
解得f（x）的單調遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]$，k∈z．
（2）將函數f（x）的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象，
可得 $g（x）=sin（x-\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
則方程$g（x）+\frac{{\sqrt{3}+m}}{2}=0$，可化簡為$sin（x-\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}+m}}{2}$=$sin（x-\frac{π}{3}）+\frac{m}{2}=0$，
∵x∈[0，π]，則$-\frac{π}{3}≤x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，則$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（x-\frac{π}{3}）≤1$，則$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤-\frac{m}{2}≤1$，
得$-2≤m≤\sqrt{3}$，故實數m的取值范圍為$[{-2，\sqrt{3}}]$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性和單調性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．