Question

17．若直角坐標(biāo)系內(nèi)A，B兩點(diǎn)滿足：（1）點(diǎn)A，B都在f（x）的圖象上；
（2）點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（A，B）是函數(shù)f（x）的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)（A，B）與（B，A）可看作一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”，已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x（x＜0）}\\{\frac{2}{{e}^{x}}（x≥0）}\end{array}\right.$，則f（x）的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有2個(gè)．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y） （x＜0），則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x，-y），從而2e^x+x²+2x=0，令φ（x）=2e^x+x²+2x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出函數(shù)φ（x）在區(qū)間（-2，-1），（-1，0）分別各有一個(gè)零點(diǎn)．由此能求出f（x）的“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)．

解答 解：設(shè)P（x，y） （x＜0），則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x，-y），
于是$\frac{2}{{e}^{-x}}$=-（x²+2x），化為2e^x+x²+2x=0，
令φ（x）=2e^x+x²+2x，下面證明方程φ（x）=0有兩解．
由x²+2x≤0，解得-2≤x≤0，而$\frac{2}{{e}^{x}}$＞0（x≥0），∴只要考慮x∈[-2，0]即可．
求導(dǎo)φ′（x）=2e^x+2x+2，
令g（x）=2e^x+2x+2，則g′（x）=2e^x+2＞0，
∴φ′（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，
而φ′（-2）=2e^-2-4+2＜0，φ′（-1）=2e^-1＞0，
∴φ（x）在區(qū)間（-2，0）上只存在一個(gè)極值點(diǎn)x₀．
而φ（-2）=2e^-2＞0，φ（-1）=2e^-1-1＜0，φ（0）=2＞0，
∴函數(shù)φ（x）在區(qū)間（-2，-1），（-1，0）分別各有一個(gè)零點(diǎn)．
也就是說f（x）的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有2個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．