Question

8．如圖，已知過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)A₂作一個(gè)圓，該圓與其漸近線bx-ay=0交于點(diǎn)P，Q，若∠PA₂Q=90°，|PQ|=2|OP|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得△QA₂P為等腰直角三角形，設(shè)|A₂Q|=R，取PQ的中點(diǎn)M，求得|OM|=|PQ|，|A₂M|，由漸近線的斜率和正切函數(shù)的定義，計(jì)算可得a=2b，運(yùn)用離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：因?yàn)椤螾A₂Q=90°，|PQ|=2|OP|，
所以△QA₂P為等腰直角三角形，
設(shè)|A₂Q|=R，則|PQ|=$\sqrt{2}$R，|OP|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
取PQ的中點(diǎn)M，則|A₂M|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，|OM|=|OP|+|PM|=$\sqrt{2}$R，
在直角△OMA₂中，tan∠MOA₂=$\frac{a}$=$\frac{{A}_{2}M}{OM}$=$\frac{\frac{1}{2}|PQ|}{|OM|}$=$\frac{1}{2}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查垂徑定理、正切函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．